张某是某单位干部，一直单身，居住在流水街50号。2010年春节后，张某因病去世，留下银行存款10万元、古董字画若干。张某所在的街道办事处认为，张某无继承人，未留下遗嘱，因此向区人民法院申请认定张某的财产为无主财产，区法院受理后，经审查核实，发出财产认领公告。因无人对张某的遗产主张权利，公告期满，区人民法院判决认定，张某的遗产为无主财产。半年后，从外地来了一位年轻人，声称是张某的亲生儿子，经法院审查核实，该年轻人系张某下放时的私生子。根据上述案情，请回答下列各题：如果张某的儿子在公告期间即依法对财产提出申请，主张继承其父亲财产的，人民法院应当如何处理？（）