张某是某单位干部,一直单身,居住在流水街50号。2010年春节后,张某因病去世,留下银行存款10万元、古董字画若干。张某所在的街道办事处认为,张某无继承人,未留下遗嘱,因此向区人民法院申请认定张某的财产为无主财产,区法院受理后,经审查核实,发出财产认领公告。因无人对张某的遗产主张权利,公告期满,区人民法院判决认定,张某的遗产为无主财产。半年后,从外地来了一位年轻人,声称是张某的亲生儿子,经法院审查核实,该年轻人系张某下放时的私生子。根据上述案情,请回答下列各题:如果张某的儿子在公告期间即依法对财产提出申请,主张继承其父亲财产的,人民法院应当如何处理?()