持有效客票的乘客A在列车停靠站台后沿步梯下车，此时列车突然启动，致使其落入列车和站台间的夹缝。正在站台上的列车员急忙扒上列车，阻止其他下车旅客，并拉下紧急制动，列车在滑动100余米后停下，尾车末端距离乘客A坠车地点已有十几米，乘客A的左腿膝盖10厘米以下被轧断，右脚也严重受伤，事后医院为乘客A实施了左小腿及右脚掌截肢手术。乘客A因此诉至法院，要求铁路运输部门对其伤害做出赔偿，在法院调解下，双方达成了赔偿协议。

  问：铁路运输部门是否应承担伤害赔偿责任?请说明理由。