案例：某教师在对根与系数关系综合运用教学时，给学生出了如下一道练习题：
设α、β是方程x²-2kx+k+6=0的两个实根，则（α-1）²+（β-1）²的最小值是（）。
A.
B.8
C.18
D.不存在
某学生的解答过程如下：
利用一元二次方程根与系数的关系易得：α+β=2k，αβ=k+6
所以。故选A。
问题：（1）指出该生解题过程中的错误，分析其错误原因；
（2）给出你的正确解答；
（3）指出你在解题时运用的数学思想方法。