A . 公安机关赔偿，因为公安机关对没有犯罪事实的刘某实施了拘留
B . 检察院赔偿，因为刘某没有犯罪事实而被检察院批准逮捕
C . 公安机关和检察院作为共同赔偿义务机关
D . 公安机关赔偿拘留期间的损失，检察机关赔偿逮捕期间的损失